Brennpunkt

[Brakbekl]

Hallo,

jeder von uns kennt das Keplersche Gesetz, nachdem die Sonne in einem von beiden Brennpunkt einer Ellypse positioniert, das "Zentrum" einer Planetenbahn abgebe.

Ich frage jetzt, was hier Brennpunkt soll. Der Kreis hat ein Zentrum, die Linse einen Brennpunkt, indem in ihm nämlich die Strahlen gebündelt und es dort wirklich zu einer Entzündung von Material, d. h. zu einem Brennen kommt. Eine Ellypse hat aber weder Zentrum noch Brennpunkt.

Geht dieser Brennpunkt auf Kepler zurück? Der schreib doch Latein, oder?

[Laptop]

Bei der Ellipse verstehe ich die Bezeichnung “Brennpunkt” bedeutungsgleich mit Zentrum, die Ellipse hat eben zwei Zentren; Vielleicht – ist es so? – liegt es daran, daß Kepler lat. schrieb und das Wort “focus” verwendete, was dann rückübersetzt wurde mit “Brennpunkt”, anstatt mit passender “Zentrum”? In einem Brennpunkt bündelt sich etwas, am focus (Herdfeuer) bündelt sich sozusagen die Gesellschaft, weil man sich um das Feuer versammelt um sich zu sehen (Licht!) / wärmen / essen / unterhalten.

[Pyrrha]

Naja, wenn du die Erdumlaufbahn aus reflektierendem Material baust, mit der Sonne in einem der Brennpunkte, dann moechte ich nicht in dem anderen Brennpunkt sein, da wird es dann naemlich ganz schoen heiss.

Eine Parabel ist im Wesentlichen nichts anderes als eine unendlich gedehnte Ellipse. Auch hier wird Licht, das vom anderen (undendlich weit entfernten) Brennpunkt ausgestrahlt wird und somit parallel einfaellt, im Brennpunkt gebuendelt. Weil im taeglichen Leben Lichtstrahlen in guter Naeherung parallel sind, sind Linsen im taeglichen Gebrauch parabolisch geformt.

Der Kreis ist der andere Spezialfall, wo beide Brennpunkte zusammenfallen; hier wird also das Licht in seinen Ursprungsort reflektiert.

[Brakbekl]

Naja, wenn du die Erdumlaufbahn aus reflektierendem Material baust, mit der Sonne in einem der Brennpunkte, dann moechte ich nicht in dem anderen Brennpunkt sein, da wird es dann naemlich ganz schoen heiss.

Eine Parabel ist im Wesentlichen nichts anderes als eine unendlich gedehnte Ellipse. Auch hier wird Licht, das vom anderen (undendlich weit entfernten) Brennpunkt ausgestrahlt wird und somit parallel einfaellt, im Brennpunkt gebuendelt. Weil im taeglichen Leben Lichtstrahlen in guter Naeherung parallel sind, sind Linsen im taeglichen Gebrauch parabolisch geformt.

Der Kreis ist der andere Spezialfall, wo beide Brennpunkte zusammenfallen; hier wird also das Licht in seinen Ursprungsort reflektiert.

Danke Pyrrha, ich hab es mir mal vergegenwärtigt:
gelesen unter Brennpunkteigenschaft. http://de.wikipedia.org/wiki/Ellipse#El ... Punktmenge

Das ganze dreidimensional gedacht, ergäbe dann einen Ellipsoiden, oder?

[Pyrrha]

Das ganze dreidimensional gedacht, ergäbe dann einen Ellipsoiden, oder?

Genau so ist es.

[sinemetu]

Ich möchte da mal eine Frage stellen: Das Wort Brennpunkt bezieht sich auf Strahlen. Insofern gibt es im zweiten Brennpunkt einer Ellipse wirklich eine Wirkung, wenn sich im ersten Brennpunkt (Focus) eine Licht oder Wärmequelle befindet. Wie verhält es sich aber mit der Schwerkraft. Ist von dort her im 2. Brennpunkt irgendetwas Außergewöhnliches zu beobachten? Wenn nicht, sollte man auch nicht von Brennpunkt, sondern von Schwerpunkt reden.

[Laptop]

Gute Anmerkung. Vielleicht genauer auch "Gravizentrum" genannt.

[sinemetu]

... und korrekterweise verdanken wir die Ellipsen auch nur dem an Harmonien interessierten Kepler. In Wirklichkeit handelt es sich ja wegen des Dreikörperproblemes um nicht vorausberechnenbare Linien auf denen die Planeten vorwärtstaumeln.

[Laptop]

Ich bin kein Physiker, aber ist das Vielkörperproblem bei den Planetenbahnen nicht von irrelevant geringem Einfluß? Die Ellipsen sind so stabil, daß man nicht ohne Grund von der "Himmelsmechanik" sprach. Wir haben auf der Erde auch Gezeiten durch den Mond, aber deshalb taumelt ja nicht gleich die ganze Erde um die Sonne.

[Pyrrha]

Moment, wie kommt ihr jetzt auf den Schwerpunkt? Eine Ellipse hat zwei Brennpunkte, der Schwerpunkt ist (aus Symmetriegruenden) der Mittelpunkt zwischen den beiden Brennpunkten. Das sind Konzepte, die nichts miteinander zu tun haben.

Kegelschnitte sind uebrigens auch ausserhalb des Zweikoerperproblems von Interesse, das ist nicht nur Kepler.

Dreikoerperproblem ist richtig, aber, wie Laptop angemerkt hat, in den meisten Faellen zu vernachlaessigen, und zwar aus zwei Gruenden.

1) Der Einfluss anderer Koerper verhaelt sich wie m/r^2, wobei m die Masse und r der Abstand ist. Pluto (klein und weit weg) hat somit einen sehr geringen Einfluss auf Jupiters Umlaufbahn um die Sonne. Man darf ja nicht vergessen, wie leer das Universum ist, und wie gross die Abstaende im Vergleich zur Groesse der Planeten (und Monde, und anderen Geroells).
2) Die Planeten kreiseln schon seit viereinhalb Milliarden Jahren um die Sonne und hatten genug Zeit, halbwegs stabile Bahnen zu finden, so dass die krassesten Unregelmaessigkeiten laengst ausgemerzt sind (auch wenn natuerlich neue Instabilitaeten entstehen koennen).

Anzumerken ist natuerlich, dass der Ausdruck "vernachlaessigbar" relativ ist: Wenn ich wissen will, wie sich die Planeten heute oder morgen oder in einem oder tausend Jahren bewegen, ist das eine Sache; in ein paar Milliarden Jahren kann sich da durchaus etwas veraendern. Wie gesagt, das Universum ist gross, und es dauert eine Weile, bis solche Effekte zu sehen sind. Insofern gibt uns die Himmelsmechanik - wie uebrigens die meisten anderen physikalischen Modelle auch - streng genommen nur eine Annaeherung an die Wirklichkeit, aber eben eine, die fuer unseren Erfahrungszeitraum zum groessten Teil ausreichend ist.


Andererseits gibt es viele Faelle, in denen der Einfluss anderer, groesserer Koerper durchaus spuerbar ist. Zum Beispiel sind die Bahnen zweier Koerper manchmal resonanzgekoppelt, d.h. die Umlaufzeiten stehen in einem kleinen ganzzahligen Verhaeltnis zueinander (z.B. Neptun und Pluto im Verhaeltnis 3:2, oder Ganymed/Europa/Io im Verhaeltnis 1:2:4). Diese Resonanzen haben i.d.R. einen stabilisierenden Einfluss; waeren sie instabil, waere das Ganze laengst auseinandergeflogen - genau das ist der Grund fuer die Luecken zwischen den Saturnringen.
Ausserdem gibt es etwa die Lagrangepunkte, in jedem Zweikoerpersystem fuenf Punkte - im Fall Sonne Erde waere das hinter der Sonne, zwischen Sonne und Erde, hinter der Erde, und je sechzig Grad rechts und links von der Erde - wo sich auch kleinere Objekte sammeln. Dieser Effekt ist bei z.B. Jupiter sehr ausgepraegt (siehe Trojaner).

Zusaetslich gibt es auch andere Effekte, die im Einzelnen alle sehr klein sind, aber sich ueber die Jahrmillionen aufsummieren. So beeinflusst der Temperaturunterschied zwischen der Tag- und Nachtseite eines Asteroiden seine Umlaufbahn, weil aufgrund der Rotation die Seite, wo die Sonne gerade untergegangen ist, Waerme abstrahlt. Interessant auch, dass Gezeiten Energie verbrauchen, und die Erdrotation sich wegen der Gezeiten verlangsamt, waehrend der Mond laengst aufgehoert hat, zu rotieren. Einige Monde der Gasplaneten sind im Inneren fluessig und haben eine sehr aktive Plattentektonik, weil sie staendig durchgeknetet werden - ohne Gezeitenkraefte waeren sie viel zu kalt fuer so etwas.

Gruss, Pyrrha.

[sinemetu]

Moment, wie kommt ihr jetzt auf den Schwerpunkt?

Weil das Keplergesetz, wie Brakbekli oben ausführt, vom Brennpunkt spricht, in dem die Sonne steht, obwohl es ja der Schwerpunkt ist.

So beeinflusst der Temperaturunterschied zwischen der Tag- und Nachtseite eines Asteroiden seine Umlaufbahn, weil aufgrund der Rotation die Seite, wo die Sonne gerade untergegangen ist, Waerme abstrahlt.

Unverständlich ??? - bitte genauer ausführen .... Danke

Interessant auch, dass Gezeiten Energie verbrauchen, und die Erdrotation sich wegen der Gezeiten verlangsamt, waehrend der Mond laengst aufgehoert hat, zu rotieren.

Wieso, er rotiert doch, sonst sähe ja jeder Kontinent etwas anderes vom Monde.....

[Pyrrha]

Moment, wie kommt ihr jetzt auf den Schwerpunkt?

Weil das Keplergesetz, wie Brakbekli oben ausführt, vom Brennpunkt spricht, in dem die Sonne steht, obwohl es ja der Schwerpunkt ist.

Nein, die Sonne steht tatsächlich in einem der Brennpunkte, nicht im Schwerpunkt. Das merkst du bei Kometen, die sich auch auf einer elliptischen Bahn bewegen, die aber sehr viel langgestreckter ist, während die Erdbahn fast kreisförmig ist. Aber auch wir sind im Winter im Perihel, d.h. am sonnennächsten Punkt der Erdumlaufbahn, und im Sommer im Aphel. (Stünde die Sonne im Schwerpunkt, müssten wir je zwei Perihele und Aphele haben.)

So beeinflusst der Temperaturunterschied zwischen der Tag- und Nachtseite eines Asteroiden seine Umlaufbahn, weil aufgrund der Rotation die Seite, wo die Sonne gerade untergegangen ist, Waerme abstrahlt.

Unverständlich ??? - bitte genauer ausführen .... Danke.

Das ist ein lustiger Effekt: Die Sonne strahlt eine Seite des Asteroiden an, und heizt ihn damit auf. Das tut sie natürlich nur auf der Seite, die der Sonne zugewandt ist. Nun rotiert der Asteroid aber, so dass sich die erhitzte Seite irgendwann von der Sonne wegdreht. Sie wird nun nicht mehr erwärmt und beginnt, Wärme abzustrahlen. Das erzeugt aber einen minimalen Gegenstoßeffekt in die andere Richtung. Dieser Effekt ist so klein, dass er im Grunde kaum nachzuweisen ist, aber über große Zeiträume hinweg immer noch Veränderungen herbeiführen kann. Das ist einer der Gründe, weshalb Asteroiden, die ja größtenteils im Asteroidengürtel sind, aus ihrer Bahn geschleudert werden können, so dass sie dann möglicherweise mit der Erde ins Gehege kommen.

Interessant auch, dass Gezeiten Energie verbrauchen, und die Erdrotation sich wegen der Gezeiten verlangsamt, waehrend der Mond laengst aufgehoert hat, zu rotieren.

Wieso, er rotiert doch, sonst sähe ja jeder Kontinent etwas anderes vom Monde.....

Das kommt davon, wenn man versucht, sich verständlich auszudrücken. Was ich meine ist: Der Mond ist "gravitationally locked" mit der Erde, er hat keine Eigenrotation, sondern richtet sich mit seiner Rotation nach der Erde, der er immer dieselbe Seite zuwendet, anders als z.B. die Erde der Sonne. Das ist energetisch effizienter, weil er deswegen eben nicht von den Gezeitenkräften der Erde ständig durchgewalkt wird.

[Brakbekl]

Moment, wie kommt ihr jetzt auf den Schwerpunkt?

Weil das Keplergesetz, wie Brakbekli oben ausführt, vom Brennpunkt spricht, in dem die Sonne steht, obwohl es ja der Schwerpunkt ist.

Nein, die Sonne steht tatsächlich in einem der Brennpunkte, nicht im Schwerpunkt. Das merkst du bei Kometen, die sich auch auf einer elliptischen Bahn bewegen, die aber sehr viel langgestreckter ist, während die Erdbahn fast kreisförmig ist. Aber auch wir sind im Winter im Perihel, d.h. am sonnennächsten Punkt der Erdumlaufbahn, und im Sommer im Aphel. (Stünde die Sonne im Schwerpunkt, müssten wir je zwei Perihele und Aphele haben.)

Naja, Pyrrha, ich meinte anfangs den Widerspruch, daß die im Brennpunkt stehende Sonne die Planeten mittels ihrer Schwere an sich bindet und nicht mittels ihrer brennenden Strahlen. Jedenfalls sind Gravitationsstrahlen nicht nachgewiesen. Natürlich hat ein Ellipsoid nur einen Schwerpunkt, der eben nicht in einem der Brennpunkte liegt. Im Übrigen liegt der Schwerpunkt der Sonne auch nicht in ihrer Mitte, sondern wandert, je nach den Planetenständen, genauso, wie der Schwertpunkt des Systems Erde-Mond nicht im Erdmittelpunkt liegt. Mich würd mal interessieren, ob dieser Punkt nur ein theoretische errechneter Achspunkt ist, um den sich das System Erde-Mond dreht, oder ob es wirklich der Punkt maximaler Dichte im Erdkörper ist.

[Pyrrha]

Da muss man zwischen der rein geometrischen und der physikalischen Betrachtungsweise unterscheiden. Rein geometrisch ist der Schwerpunkt der Ellipse zwischen den beiden Brennpunkten, weil man sich die Masse als gleichverteilt denkt. Im physikalischen System sieht das Ganze etwas anders aus, weil die Massenverteilung ungleich ist. Mit anderen Worten, im System Erde-Mond ist die Erde sehr viel schwerer als der Mond, so dass der physikalische Schwerpunkt des Systems ungefähr (aber nicht ganz) im Mittelpunkt der Erde ist. Mond und Erde bewegen sich beide auf elliptischen Bahnen um diesen Schwerpunkt, aber weil der ja fast im Erdmittelpunkt ist, läuft das darauf hinaus, dass der Mond um die Erde kreist und die Erde selber nur ein bisschen wackelt. Entsprechend ist es im System Erde-Sonne. Der Schwerpunkt des Gesamtsystems steht dabei still, bzw. bewegt sich mit gleichbleibender Geschwindigkeit immer in dieselbe Richtung, die beiden Fälle sind physikalisch nicht zu unterscheiden. (Da stellt sich die Frage, was man als "Gesamtsystem" betrachtet, denn natürlich bewegt sich das Sonnensystem ums galaktische Zentrum, und dieses um das Zentrum des Virgo-Haufens, usw. Für die Erdumlaufbahn kann man allerdings mit guter Näherung annehmen, dass das Sonnensystem als ganzes sich konstant bewegt, so dass man den Schwerpunkt des Gesamtsystems als stillstehend annehmen kann.) Der Schwerpunkt der Sonne alleine ist schon im Mittelpunkt der Sonne; was du meinst, wenn du sagst, dass er dort nicht ist, ist der Schwerpunkt des Sonnensystems.

Wenn die beiden Körper gleich schwer sind, bewegen sich beide auf elliptischen Bahnen, wobei jeweils einer der Brennpunkte im Schwerpunkt des Systems ist. Allgemein kann man zeigen, dass Bahnkurven im Zweikörperproblem immer Kegelschnitte sind, also entweder Kreise, Ellipsen, Parabeln oder Hyperbeln, wobei der Schwerpunkt des Systems immer in einem der Brennpunkte ist; welcher Fall im einzelnen eintritt, hängt von den Parametern wie Masse und Geschwindigkeit der beiden Körper ab, wobei Kreise und Parabeln Spezialfälle sind, die so gut wie nie wirklich auftreten. Geschlossene Bahnen sind also Ellipsen, während zwei einsame Sterne (oder zwei Galaxien, oder was auch immer), wenn sie sich treffen, auf Hyperbelbahnen sind.


Den Effekt, dass auch die Sonne um den Schwerpunkt des Sonnensystems kreist, macht man sich übrigens bei der Suche nach extrasolaren Planeten zunutze - deswegen sind die meisten derzeit bekannten Exoplaneten auch Gasriesen mit einer sehr kleinen Umlaufbahn, in dem Fall wackelt nämlich der Hauptstern mehr, und man findet ihn leichter. Feste Planeten sind meist kleiner und leichter und deswegen einfach viel schwerer zu finden, aber es ist anzunehmen, dass es davon jede Menge gibt, und es werden ja auch immer mehr gefunden.