Mathematik

[sinemetu]

Im Unterschied zu den communen Sprachen weiß man in der Mathematik sehr genau, wer welches Wort wann in welchem Sinne geprägt hat. Man muß es dort festhalten, sonst geht etwas verloren.

[marcus03]

Man muß es dort festhalten, sonst geht etwas verloren.

Warum sollte es verloren gehen? Was meinst du mit "festhalten"? Als Definition?

Obiter:
Auch in der Mathematik gibt es nicht-eindeutige Begriffe und heftige Kontroversen.
Beispiele:
Menge der natürlichen Zahlen: Gehört die Null dazu oder nicht? Das muss jedesmal dazugesagt werden,
wenn es um Aufgaben geht.

Kann man aus negativen Zahlen die dritte Wurzel ziehen?
https://de.wikipedia.org/wiki/Wurzel_(Mathematik)#Wurzeln_aus_negativen_Zahlen

Was ergibt 0^0?
https://de.m.wikipedia.org/wiki/Potenz_(Mathematik)#Null_hoch_Null

[medicus]

Sinemetu will offenbar wissen, welches Kind beispielsweise in welchem Jahr erstmal "Mama" gesagt hat, und damit das Wort erfunden hat.

[sinemetu]

Das wäre für das Affe-Mensch-Übergangsfeld wichtig, ab wann der Mund so gebildet war, das M der erste natürliche Konsonant wurde.

[medicus]

Das M höre ich schon bei unseren Vorfahren!
https://www.youtube.com/watch?v=dAPfaWNYY1s

[marcus03]

Sinemetu will offenbar wissen, welches Kind beispielsweise in welchem Jahr erstmal "Mama" gesagt hat, und damit das Wort erfunden hat.

cf:

Einer Geschichte[3] von Herodot (ca. 490–424 v. Chr.) zufolge, unternahm Pharao Psammetich I. (regierte 664–610 v. Chr.) in Ägypten einen Versuch, die Ursprache der Menschheit zu erfahren.[4] Er gab einem Hirten zwei neugeborene Kinder und befahl, diese so aufzuziehen, dass sie niemals ein gesprochenes Wort vernehmen sollten. Er wollte auf diese Weise herausfinden, in welcher Sprache die Kinder zuerst ein Wort sagen würden. Nach ca. zwei Jahren streckten die Kinder bittend die Hände aus und sagten „Bekos“. Dies hieß in der Sprache der Phryger „Brot“. Der Pharao schloss daraus, dass die Phryger ein noch älteres Volk als die Ägypter wären. Herodots Geschichte ist allerdings wohl eher dem Reich der Märchen und Sagen zuzuordnen als der Wahrheit.

[Sapientius]

Menge der natürlichen Zahlen: Gehört die Null dazu oder nicht?

Sie gehört nicht dazu, es sind ja die Zählzahlen, es geht los mit 1, 2, 3. Es hat aber einen Vorteil, die Null dazuzunehmen, das bewirkt, dass dann die natürlichen Zahlen "vollständig sind in Bezug auf die Addition"; dass also die Gleichung "a + b = a" lösbar wird, für b = 0, und die Null ist "das neutrale Element der Addition".
Streit gibt es bei diesen Fragen eigentlich nicht, man muss eben definieren, wenn man kann; es kommt darauf an, einen Lösungsbereich zu finden oder zu erfinden, und Widersprüche zu vermeiden.

Die Mathematik hat wirkliche Probleme, aber die liegen woanders, das sind die Grundlagenprobleme: Gibt es "die Menge aller Mengen"? Ist diese Menge dann ein Element von sich selbst? Ob man ja oder nein sagt, man verwickelt sich in Widersprüche; Bertrand Russell hat vor 100 Jahren ein Rettungsboot zu Wasser gelassen und damit die mathematische Exaktheit vor dem Untergang bewahrt.

[marcus03]

Bertrand Russell hat vor 100 Jahren ein Rettungsboot zu Wasser gelassen und damit die mathematische Exaktheit vor dem Untergang bewahrt.

Er hat das Problem nicht gelöst, sondern "aufgelöst"/verschoben.(Metaebene)

Russell löste das Paradoxon bereits 1903 durch seine Typentheorie; in ihr hat eine Klasse stets einen höheren Typ als ihre Elemente; Aussagen wie „eine Klasse enthält sich selbst“, mit der er seine Antinomie bildete, lassen sich dann gar nicht mehr formulieren.[10] Er versuchte also, da er an Freges Abstraktionsprinzip festhielt,[11] das Problem durch eine eingeschränkte Syntax der zulässigen Klassen-Aussagen zu lösen. Die eingeschränkte Syntax erwies sich aber als kompliziert und unzulänglich zum Aufbau der Mathematik und hat sich nicht dauerhaft durchgesetzt.

Parallel zu Russell entwickelte Zermelo, der die Antinomie unabhängig von Russell fand und schon vor Russells Publikation kannte,[12] die erste axiomatische Mengenlehre mit uneingeschränkter Syntax. Das Aussonderungsaxiom dieser Zermelo-Mengenlehre von 1907 gestattet nur noch eine eingeschränkte Klassenbildung innerhalb einer gegebenen Menge. Er zeigte durch einen indirekten Beweis mit dieser Antinomie, dass die Russellsche Klasse keine Menge ist.[13] Sein Lösungsweg hat sich durchgesetzt. In der erweiterten Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre (ZF), die heute als Grundlage der Mathematik dient, stellt zusätzlich das Fundierungsaxiom sicher, dass keine Menge sich selbst enthalten kann, so dass hier die Russellsche Klasse identisch mit der Allklasse ist.

Da die Russellsche Antinomie rein logischer Natur ist und nicht von Mengenaxiomen abhängt, ist schon auf der Ebene der widerspruchsfreien Prädikatenlogik erster Stufe beweisbar, dass die Russellsche Klasse als Menge nicht existent ist. Das macht folgende Argumentation einsichtig, die einen zweiten indirekten Beweis Russells[14] in einen direkten Beweis umwandelt: